B noktasından, A hareket eden parçaya, serbestçe dönebilecek
şekilde bağlanmış BC çubuğu salınım hareketi yapması amacıyla serbest
bırakılıyor. Ayrıca O etrafında sabit açısal hız yapan disk ile A parçası
titreşim hareketi yapmaktadır. Bu mekanizma ile BC çubuğunun hareketi
incelenmek isteniyor.
Disk için herhangi bir moment sıkıntısı olmadığı varsayılıp
B noktasının hareketi şu şekilde kabul edilsin:
Denklemleri elde edilir. Θ
ve türevleri tek bir değişken olarak sayılırsa N_x, N_y, ag_x, ag_y
ve theta olmak üzere toplam 5 bilinmeyen ve 3 denklem
vardır. 2 denklemi ivme analizi ile çıkartalım.
İvme Analizi:
B noktasının hareketi zamana bağlı olarak
verildiğinden, ivmesi türetilerek bulunabilir.
III numaralı denklemi, ivme analizi
sonucu bulduğumuz vektörel eşitlikte yerine yazarsak:
Ve böylece:
5. denklemi de elde ettik. Birbirine
lineer bağlı olmayan, 5 bilinmeyenli lineer denklem sisteminin çözümü vardır ve
tektir. [III] numaralı denklemdeki N_x ve N_y bilinmeyenlerini [I] ve [II] yi
kullanarak yok edersek:
Ve şimdi de [IV] ve [V] denklemlerini
kullanarak a_g bilinmeyenlerini yok edersek:
Theta’nın
diferansiyel denklemini elde ederiz. Sarı ile işaretli kısımlar ters işlem
konumunda olup birbirini yok edecektir.
Elde edilir. Dikkat edilirse, B
noktasının ivmesi 0 olduğunda paydaki cos fonksiyonunun katsayısı 0 olacaktı ve
o haliyle normal salınım denklemi olacaktı.
Yazılırsa:
En sade haliyle elde edilir.
Şeklinde olan denklemi, başlangıç koşulu,
t=0 için, theta=0, omega=0
olacak şekilde düzeltilmiş euler metoduyla sayısal
olarak çözelim.
Seçtiğim başlangıç koşulu dikkat edilirse
çubuğun durağan halde bırakılmasıdır. A parçasının titreşimi ile salınması
beklenen bir durumdur.
Sayısal olarak çözeceğim için l, A, w
değerlerini belirlemeliyim.
L = 0.4 , A = 0.05
seçilip w’ye bağlılığı incelensin. Normal salınım
için:
Dir.
Bu değerin başına bir k sabiti koyarak referansı sağlayalım. Diferansiyel
denklemin çözümü için kullanacağım dedd()
fonksiyonum:
function [ x, y ] = dedd(fun,h,n,x0,y0,dy0)
x = zeros([1 n]); x(1) = x0;
y = zeros([1 n]); y(1) = y0;
u = zeros([1 n]); u(1) = dy0;
for i = 1:n-1;
x1 = x(i)+h;
du0 = fun(u(i),
y(i), x(i));
u1p = u(i)+h*du0;
y1c = y(i)+h*(u(i)+u1p)/2;
u1c = u(i)+h*(du0+fun(u1p, y1c, x1))/2;
x(i+1) = x1;
y(i+1) = y1c;
u(i+1) = u1c;
end
clear x1 y1p du0 u1p y1c u1c i;
end
Şimdi de denklemi çözelim:
clear all;
%% Düzeltilmiş Euler için
h = 0.01; %sonlu parçaların uzunluğu
x0 = 0; %başlangıç zamanı
xN = 8; %t_son
n = round((xN - x0)/h); %parça
sayısı
%%
%% Değişen k değerlerine
karşılık durum için:
k = [ 0.5 1 2 ];
step = length(k);
%%
%% Her bir k için sonuç
hesaplanacak
for aa=1:step;
%Dif
denklemin çözümü
g = 9.81; l=0.4;
w = sqrt(3*g/(2*l));
%dif
denklem:
F = @(u,y,x)-3/2*(g*sin(y)-0.05*w^2*sin(k(aa)*w*x).*cos(y))/l;
[x, y] = dedd(F,
h, n, x0, 0, 0);
% Çözümün çizdirilmesi
subplot(step,1,aa);
plot(x, y); xlabel('Zaman'); ylabel('Theta');
title(['W = ' num2str(k(aa)) 'w']);
% Sınırların aynı olmasını
istiyorum:
ylim([-2 2]);
end
%%
Sonuç:
Şimdi ise üç k değeri için değil, birçok
k değeri için azami genliğin ne olduğunu bulalım ve grafik haline getirelim. Bu
genlik, açının genliği olacak. K ise, A parçasının yaptığı titreşim hareketinin
frekansıdır.
clear all;
%% Düzeltilmiş Euler için
h = 0.01; %sonlu parçaların uzunluğu
x0 = 0; %başlangıç zamanı
xN = 8; %t_son
n = round((xN - x0)/h); %parça
sayısı
%%
%% Değişen k değerlerine
karşılık durum için:
k = linspace(0.01, 10);
step = length(k);
genlik = zeros([1 step]);
%%
%% Her bir k için sonuç hesaplanacak
for aa=1:step;
%Dif
denklemin çözümü
g = 9.81; l=0.4;
w = sqrt(3*g/(2*l));
%dif
denklem:
F = @(u,y,x)-3/2*(g*sin(y)-0.05*w^2*sin(k(aa)*w*x).*cos(y))/l;
[x, y] = dedd(F,
h, n, x0, 0, 0);
genlik(aa) = max(y);
end
%%
plot(k, genlik)
title('Titreşim ile
Azami Genlik İlişkisi');
xlabel('k [x w_0]');
ylabel('Azami genlik
[rad]');
Böylece elde edeceğim grafik:
Bulunmuş olur.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder