Önerme:
Şu şekilde de gösterebiliriz:
İspat:
f sınırlı bir fonksiyon ve k bir pozitif sayı. Bu fonksiyonu parçalayalım.
Bu parçalama için şunları söyleyebiliriz.
i ile aralıklar arasındaki bağlantı vardır.
Her aralığın eşit şekilde parçalandığını farz edelim. i ile P dizisinin elemanları arasında bu bağlantı vardır:
N, parçalamanın normudur.
f fonksiyonu mutlak artan bir fonksiyondur. Parçalar için maksimum noktaları, parçanın üst sınırına eşittir.
İşlem kolaylığı için n'i bir birim sağa kaydırabiliriz. Dolayısıyla:
olur. Üst toplamı limit ile sonsuza yaklaştırırsak, tanım aralığı için f fonksiyonunun integraline ulaşırız.
Üst toplamdaki terimi (xi'yi) açarsak:
Açılımı yerine yazdığımızda sonucu elde ederiz.
Şu şekilde de gösterebiliriz:
İspat:
Bu parçalama için şunları söyleyebiliriz.
i ile aralıklar arasındaki bağlantı vardır.
Her aralığın eşit şekilde parçalandığını farz edelim. i ile P dizisinin elemanları arasında bu bağlantı vardır:
N, parçalamanın normudur.
f fonksiyonu mutlak artan bir fonksiyondur. Parçalar için maksimum noktaları, parçanın üst sınırına eşittir.
P, i, N, xi den yola çıkarak şu eşitliği yazabiliriz:
İşlem kolaylığı için n'i bir birim sağa kaydırabiliriz. Dolayısıyla:
olur. Üst toplamı limit ile sonsuza yaklaştırırsak, tanım aralığı için f fonksiyonunun integraline ulaşırız.
Üst toplamdaki terimi (xi'yi) açarsak:
Açılımı yerine yazdığımızda sonucu elde ederiz.
