Dizi Şeklinde Artan, Sonsuz Limit Hesabı Önermesi

Önerme:

Şu şekilde de gösterebiliriz:

İspat:

f sınırlı bir fonksiyon ve k bir pozitif sayı. Bu fonksiyonu parçalayalım.

Bu parçalama için şunları söyleyebiliriz.
i ile aralıklar arasındaki bağlantı vardır.

Her aralığın eşit şekilde parçalandığını farz edelim. i ile P dizisinin elemanları arasında bu bağlantı vardır:

N, parçalamanın normudur.

f fonksiyonu mutlak artan bir fonksiyondur. Parçalar için maksimum noktaları, parçanın üst sınırına eşittir.

P, i, N, xi den yola çıkarak şu eşitliği yazabiliriz:

İşlem kolaylığı için n'i bir birim sağa kaydırabiliriz. Dolayısıyla:

olur. Üst toplamı limit ile sonsuza yaklaştırırsak, tanım aralığı için f fonksiyonunun integraline ulaşırız.

Üst toplamdaki terimi (xi'yi) açarsak:

Açılımı yerine yazdığımızda sonucu elde ederiz.