Çift Hata

Çift hata önermesi

1-)Sistemin belirlenen bir özelliği adına, beklenen hatanın olmaması ya da çok az olması için, ya hiç hata olmamalıdır ya da birden fazla hatalı özellik olmalıdır. Tek bir hata ile kesinlikle amaçtan uzaklaşılır. Ancak birden fazla hata ile amaçtan uzaklaşılmayabilir.

Öklid geometrisindeki yapılar

Montajın aranan özellikte olması için her malzemenin hatasız imal edilmesi gerekir. Ancak aranan özelliğe izafen birden fazla hata olması ile de aranan özellikte imal edilebilir.

Bir örnek teşkil etmesi içim sembolik olarak yukarıdaki geometrik parçaları kullanalım. A ile B’nin deliğe sahip, iki simetrik parça olması gerekir. C parçasının da bu deliklere uygun kusursuz bir parça olduğunu düşünelim. Burada aranan özellik C parçasının A ile B ye tam yatay konumda (burkulmayı ihmal edecek olursak) eğilme yapmayacak ya da çok az eğilme yapacak şekilde monte edilmesidir. Kısaca: zemine paralel olması isteniyor olsun. Bunun için tüm parçaların hatasız üretildiği ihtimal ilk şekildedir.

Şimdi, B bir miktar A’ya göre izafi olarak hatalı olsun. Bu şekilde, sadece tek hata içeren sistem kesinlikle istenen özelliğe göre hatalı çalışacaktır.

B, A’ya göre hatalıydı. Şimdi C parçası da hatalı olsun. Yani hata sayısı arttırılsın. Aradığım şey C’nin zemine paralel olmasıydı ve artık paralel. Burada şuna da dikkat çekmeliyim: istenen özellik A ile B’nin birbirine uyumu olsaydı yani izafi hata 0 olması istenseydi önerme kendini yine sürdürecekti. Çünkü bu sefer aranan izafi hatanın 0 olmasıdır. Eğer A hatasız ve B hatalıysa istenen özelliğe göre kesinlikle hatalı bir sistem olurdu. Ancak A da hatalı ve B de hatalı olsa, aynı zamanda bu hatalar izafi hatayı sıfır yapsa, sistem belirlenen özelliğe göre hatasız olabilirdi.

Resimde; yukarıdan aşağı doğru hatalı parça sayısının ve parçadaki hata sayısının artmasıyla, istenen sonuç hatasının değişmeyebileceği listeleniyor.

2-) Sonuç hatası azaltılmak isteniyorsa, hatalar ortadan kaldırılmalıdır ya da sonuç hatasını azaltabilecek başka hatalar yapılmalıdır.

Aynı örneği devam ettirelim. Son resimde toplam 3 hata vardı. Ancak bunlardan sonuncusunun bir miktar sonuç hatası yaptığını düşünelim. Örneğin e_c1 bir miktar C’yi eğsin. Bunu ortadan kaldırmak için e_c1 ortadan kalkmalıdır. Ya da 4. Bir hata yapılmalıdır. Örneğin C bir miktar yamuk imal edilebilir. Ya da zemine A’ya izafi bir hata yaptırılabilir.

Genel Hal

Bunu göstermek için x yakınında bir nokta için Taylor açılımına bakalım:

Hatasız bir sonuç için hatasız giriş olmalıdır:

Tek bir hata için:

x’in hatasında artışa karşılık (şayet fonksiyonun türevinde şiddetli bir azalış söz konusu değilse) y’nin hatası ─hata aralığı artar.

Şimdi fonksiyonda iki hata olduğunu düşünelim.

f’nin hatasını yok veya yok denebilecek bir toleransa götürerek:

Eşitliğini elde ederiz. Bunu bir örnek üzerinden yorumlayacak olursak;

x gerçek değeri bir miktar hatalı ve y gerçek değeri bir miktar hatalı olsun. (Hatalı değerler sıfır indisle)

Bu şu şekilde yorumlanabilir: Hatalı ölçülen x₀ değeri, e_x hatasıyla ölçülmüş olursa hatalı olacak y₀ değeri, e_y hatasıyla olmalıdır ki; E toleransıyla f değişmeden kalabilsin.

Burada,

Dikkate alınarak istenen değer bulunabilir veya tahmin edilebilir.

Örnek: Bir güç hesabı için akım ve gerilimin çarpımı 5 watt olması isteniyor. Ancak akım bir şekilde 0.1 hata ile 2.5 A ölçülüyor. Bu hataya rağmen gerilim ne olmalıdır ki güç 5 watt değerine yakın olsun?

(ö.1)

 

  (ö.2)

(ö1) ve (ö2)'yi kullanarak lineer denklem sistemini çözebilirim. 

Burada E, Taylor serisinin sonlanmasından kaynaklı bir hatadır. Hesaplanabilir, ancak ihmal de edilebilir. E değeri 0.1 alındığında, V₀=2.0449 ve e_v= -0.1218 elde edilir. (P bir miktar yüksek çıkar). E değeri -0.1 alındığında, V₀= 1.9615 ve e_v= -0.0385 elde edilir. (P bir miktar alçak çıkar). İstenen sonuca da bir tolerans getirilebilir. O halde,

Soruya tekrar dönülürse;

Denklem sistemi ile hesaplanabilir.

Böylece sonuç hatası sıfıra yaklaştırılabilir.