Moment Denklemlerinin Elde Edilişi (Rigid Body Moment Equations - Euler's Equations)

Sabit eksen takımı üzerinde tanımlı bir M cisminin kütle merkezinin konumu G’dir. Dış kuvvetlerin etkisi altındaki M cisminin moment denklemi çıkarılmak isteniyor. 

Elde edilmek istenen:

Noktalar sistemi içerisinden herhangi bir i noktası için 2. hareket yasası şu şekilde uygulanabilir:

Burada i noktasına etkiyen kuvvetler F ve f olmak üzere iki farklı kuvvetin bileşkesi şeklinde yazılmıştır. F, dış kuvvetlerin etkisi iken; f, iç kuvvetlerin etkisidir. Tüm i noktaların toplanması ile iç kuvvetler toplamı, etki-tepki yasası gereği sıfır vektörüne eşit olur.

Frenet Serret Formülleri

Oldukça basitten başlayarak Frenet ve Serret formülleri açıklanmaya çalışıldı. Ortalama değer teoremi gibi temel teoremlerle, en temelden ifade edildi. Eğrilik ve Torsiyon gibi kavramlar önce sembolize edildi, ardından açıklanarak kabul gören notasyonla ifade edildi.

İçerik

1-      Sonsuz küçükte eğri

2-      Vektörün türevi

3-      Ortalama değer teoremi

4-      Eğri uzunluğu

5-      Uzayda eğri

6-      Teğet vektör

7-      Normal vektör

8-      Düzlemde normal vektör

9-      Eğrilik

10-  Uzayda normal vektör ve binormal vektör

11-  Frenet Serret formüllerinin çıkarılışı

12-  Torsiyon

13-  Sonuç

Titreşim Hareketi Yapan Zeminde Salınım Problemi

B noktasından, A hareket eden parçaya, serbestçe dönebilecek şekilde bağlanmış BC çubuğu salınım hareketi yapması amacıyla serbest bırakılıyor. Ayrıca O etrafında sabit açısal hız yapan disk ile A parçası titreşim hareketi yapmaktadır. Bu mekanizma ile BC çubuğunun hareketi incelenmek isteniyor.

Disk için herhangi bir moment sıkıntısı olmadığı varsayılıp B noktasının hareketi şu şekilde kabul edilsin:

Düzeltilmiş Euler Metodu ile Diferansiyel Denklem Çözümü

n. mertebeye kadar türevlenebilir ve her türevi, tanım aralığında sürekli olan bir f fonksiyonu için, tanımlı olduğu bir x noktası civarında Taylor açılımı yazılacak olursa:

İfadesi elde edilir.

Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem:

İle veriliyor olsun. Taylor açılımı ile birleştirilecek olursa:

Elde edilir.

Nonlineer Denklemlerde Çözüm Metotları: Yarıya Bölme

Cebirsel olarak çözümü bulunamayan bir nonlineer denklemin veya nonlineer denklem sistemlerinin çözümü veya çözümleri için sayısal yöntemler geliştirilmiştir. Bilgisayar teknolojisinin ve işlemci güçlerinin artışıyla bu yöntemler kullanışlı olmaya başlamıştır. Bu yazıda, daha özel bir denklemin çözümü için uyguladığım (http://butakdirde.blogspot.com.tr/2016/12/kesisen-ustel-ile-dogru-denklemi.html) bir yöntemi daha genel olarak ifade edeceğim.

Metot, bir f(x) için, f(x₀)=0 değerine götüren x₀ değerini, veya bu değere yakın olan hatalı bir değerin iteratif yöntemle bulmayı amaçlamaktadır.

Yardımcı Teorem:

F, [a,b] aralığında sürekli  ve fonksiyonun değer kümesi [α,β] aralığı olsun.

 vardır. Bunun tersini düşündüğümüzde ise

 vardır.

Statik Moment Hesabı

A_ab, f eğrisinin [a,b] aralığında, a’dan b’ye giderken, x ekseni ile arasındaki alanın değerini; x₀, bu alanın alan merkezinin 0’a olan uzaklığını; S_ab/0, bu alanın 0’a göre statik alan momentini göstermektedir.

Kesişen Üstel ile Doğru Denklemi Problemi ve Çözümü

x != 0 => x = ?
ayrıca: m < x < M => m,M = ?

 Çözüm:

 olmak üzere,

Tanımlansın.  için  olmaktadır.   koşulunu sağlayan  şeklinde bir A kümesi belirleyelim,

Asal Eksen ve Atan2'nin Uyarlaması

İki eksende yükleme yapılmış cismin incelenmesi
Asal eksen hesabı ve alternatif çözüm metodu
Atan2 algoritmasının gerekçesi ve uyarlanması

Dizi Şeklinde Artan, Sonsuz Limit Hesabı Önermesi

Önerme:

Şu şekilde de gösterebiliriz:

İspat: