Kütle Merkezinin Statik Analizde Avantajları

Problemin tam tanımını bir örnek ile canlandırmaya çalışalım. Bir tahterevalli düşünelim. Her iki oturma yerinde de birer çocuğun oturduğu bir tahterevalli olsun. Dengede olma koşulu, döner mafsal eksenine olan momentlerin sıfır olmasıyla sağlanır. Her çocuğun oturduğu yerden ağırlığı şiddetince moment değeri vardır. Fakat tam olarak kuvvetin etki ettiği nokta neresidir? Örneğin bir tarafta 2 çocuk bulunsun. Veya 4, 8, 10 hatta sonsuz tane. Yayılı bir yük şeklinde etki ettiğinde tam olarak etki noktası neresi olur? Veya çocuklardan birinin poposu öylesine geniş olsun ki çocuğun oluşturacağı kuvvetin kuvvet kolunu seçmek zorlaşsın. Bu yazıda, kütle merkezi veya kuvvet merkezi gibi tanımlar yardımıyla bu problemin daha sistematik ve daha kolay çözülebildiğini göstermeyi amaçlıyorum. Öte yandan bu süreç öylesine sezgisel ki kimse bununla ilgili bir ispat beklemiyor da olabilir. Ancak bu sayede kütle merkezi tanımının aslında ne kadar manidar olduğunu anlaşılmış olacaktır.

Tek boyutlu bir yayılı yük düşünelim. Yayılı yük ile meydana gelen toplam kuvveti kolayca hesap edebiliriz.

Moment Denklemlerinin Elde Edilişi (Rigid Body Moment Equations - Euler's Equations)

Sabit eksen takımı üzerinde tanımlı bir M cisminin kütle merkezinin konumu G’dir. Dış kuvvetlerin etkisi altındaki M cisminin moment denklemi çıkarılmak isteniyor. 

Elde edilmek istenen:

Noktalar sistemi içerisinden herhangi bir i noktası için 2. hareket yasası şu şekilde uygulanabilir:

Burada i noktasına etkiyen kuvvetler F ve f olmak üzere iki farklı kuvvetin bileşkesi şeklinde yazılmıştır. F, dış kuvvetlerin etkisi iken; f, iç kuvvetlerin etkisidir. Tüm i noktaların toplanması ile iç kuvvetler toplamı, etki-tepki yasası gereği sıfır vektörüne eşit olur.

Moment Alan Teoremleri

Eğilme Modeli

 

Bir model olarak eğilen bir kirişin, şekil değişimi meydana gelmeyen hayali bir lifin (tarafsız eksen) ve gerilmeye maruz kalan diğer liflerin yay oluşturduğu iddia edilir.

Tarafsız eksen aynı zamanda eğri üzerindeki konumu ifade eder. Ancak kirişin, boyunun uzandığı eksen ile yaklaşık olarak verilebilir.

Bu yaklaşım, tarafsız eksene y kadar uzaklıkta bulunan lifteki şekil değişimini daha basite indirger.

Frenet Serret Formülleri

Oldukça basitten başlayarak Frenet ve Serret formülleri açıklanmaya çalışıldı. Ortalama değer teoremi gibi temel teoremlerle, en temelden ifade edildi. Eğrilik ve Torsiyon gibi kavramlar önce sembolize edildi, ardından açıklanarak kabul gören notasyonla ifade edildi.

İçerik

1-      Sonsuz küçükte eğri

2-      Vektörün türevi

3-      Ortalama değer teoremi

4-      Eğri uzunluğu

5-      Uzayda eğri

6-      Teğet vektör

7-      Normal vektör

8-      Düzlemde normal vektör

9-      Eğrilik

10-  Uzayda normal vektör ve binormal vektör

11-  Frenet Serret formüllerinin çıkarılışı

12-  Torsiyon

13-  Sonuç

Paralel Eksen ve Dik Eksen Teoremleri

Paralel Eksen Teoremi

 veya daha az boyuttaki noktalar kümesi bir cismi tanımlıyor olsun. Her nokta için x₁’e olan yakın uzaklık r ile gösterilsin. Eksene göre eylemsizlik momenti tanım gereği şu şekilde hesap edilir:

Çift Hata

Çift hata önermesi

1-)Sistemin belirlenen bir özelliği adına, beklenen hatanın olmaması ya da çok az olması için, ya hiç hata olmamalıdır ya da birden fazla hatalı özellik olmalıdır. Tek bir hata ile kesinlikle amaçtan uzaklaşılır. Ancak birden fazla hata ile amaçtan uzaklaşılmayabilir.

Öklid geometrisindeki yapılar

Montajın aranan özellikte olması için her malzemenin hatasız imal edilmesi gerekir. Ancak aranan özelliğe izafen birden fazla hata olması ile de aranan özellikte imal edilebilir.

Limit Hesapları ile Eğilmede Gerilmeler

Kesiti y eksenine göre simetrik olan şekildeki gibi bir kiriş, çeşitli yüklemelere maruz bırakılsın. Kesit alanının xy yüzlemi, kesitin boyuna z ekseni; kesit alanının kütle-alan merkezine x ve y merkezleri yerleştirilsin. Normal gerilmenin kirişte moment meydana getirmemesi için normal gerilmenin kesit merkezine uygulandığı düşünülüp, yapılacak işlemlerde ihmal edilsin.

 

Herhangi bir z konumunda sistemi dengede tutacak Mx, Nz, Vy sürekli veya parçalı sürekli fonksiyonları şekildeki yön kabulleriyle tanımlansın.

Asal Eksen ve Atan2'nin Uyarlaması

İki eksende yükleme yapılmış cismin incelenmesi
Asal eksen hesabı ve alternatif çözüm metodu
Atan2 algoritmasının gerekçesi ve uyarlanması

Dizi Şeklinde Artan, Sonsuz Limit Hesabı Önermesi

Önerme:

Şu şekilde de gösterebiliriz:

İspat: