Düzeltilmiş Euler Metodu ile Diferansiyel Denklem Çözümü

n. mertebeye kadar türevlenebilir ve her türevi, tanım aralığında sürekli olan bir f fonksiyonu için, tanımlı olduğu bir x noktası civarında Taylor açılımı yazılacak olursa:

İfadesi elde edilir.

Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem:

İle veriliyor olsun. Taylor açılımı ile birleştirilecek olursa:

Elde edilir.

Şayet,

Şeklinde başlangıç koşulu biliniyor ise,  ile çok küçük bir artış için

İle bir sonraki x değerine karşılık y=f(x) değeri hatalı olarak elde edilebilir. H, küçüldükçe hata azalacaktır çünkü:

Limit sonsuz konumunda paydayı 0’a yakınsatacak bir değer yoktur. H->0 durumunda hata sıfıra yakınsar. İfade daha genel olarak verilirse euler metodu:

İle hesaplanır. Bu hesap oldukça hatalıdır. Bu hatayı düzeltmek için şu yapılabilir:

Y_1c değeri, gerçek y değerine y_1p değerinden daha yakındır. Bu işlem ile hata bir nebze düzeltilmiş olur.

Şimdi, çözümü cebirsel olarak bilinen bir birinci mertebeden diferansiyel denklem için bunu uygulayalım.

Ayrıştırılabilir birinci mertebeden diferansiyel denklemin çözümü:

‘tir.  Tek bir döngü ile iki metodu da uygulayalım. Her hangi i. İnci bir terim için ifadeleri genelleştirelim:

Euler Metodu	Düzeltilmiş Euler Metodu
x1 = x(i)+h; x(i+1) = x1;
y1c = y(i)+h*F(y(i), x(i));	d0 = F(y(i), x(i)); y1p = y(i)+h*d0; y1c = y(i)+h/2*(d0+F(y1p, x1));
y(i+1) = y1c;

Şeklinde programa dönüştürebiliriz.

%% BAŞLANGIÇ ŞARTLARI

X0 = 0;

Y0 = 1;

%%

%% ARALIK VE ADIM

h = 0.5;

n = 10;

%%

%% DENKLEM

F = @(y,x) y;

%%

Özel çözüm için gerekli bilgileri bu şekilde tanımlayalım ve h aralığında n adımda çözüm yapalım.

%% DÖNGÜ

x = zeros([1 n]); x(1) = X0;

y = zeros([1 n]); y(1) = Y0;    %Düzeltilmiş Euler İçin

yC = zeros([1 n]); yC(1) = Y0;  %Normal Euler İçin

for i = 1:n-1;   

    x1 = x(i)+h;   

    x(i+1) = x1;

    yC(i+1) = yC(i)+h*F(yC(i), x(i));

      

    d0 = F(y(i), x(i));

    y1p = y(i)+h*d0;

    y1c = y(i)+h/2*(d0+F(y1p, x1));

    y(i+1) = y1c; 

end

clear x1 y1p d0 y1c i;

%%

Bu şekilde tablodaki değerleri her adım için hesaplamış oluruz. Sonuçları çizdirelim.

plot(x, y, x, yC, x, exp(x));

legend('Düzeltilmiş Euler', 'Euler', 'Gerçek');

title([ 'Çözüm, h = ' num2str(h)] );

xlabel('X');

ylabel('Y');

ve böylece elde edilen grafik:

Şimdi düzeltilmiş euler metodunu ikinci mertebe diferansiyel denklemlere uygulayalım.

Şeklinde verilen ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem için başlangıç değerleri x0, y0, y’0 biliniyor olsun.

Dönüşümü yapılarak,

Şeklinde iki tane birinci mertebeden başlangıç değerleri bilinen diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklemlerin, kendisini ilgilendiren başlangıç değerleri ile eş zamanlı olarak çözülmesi ile x,y ikilileri sayısal olarak elde edilir.

Tablodaki gibi eş zamanlı olarak çözülerek c indisli değerler bir sonraki adımın y ve u değerleri olur.

clear all;

%% BAŞLANGIÇ ŞARTLARI

X0 = 0;

Y0 = pi/10;

U0 = 0;

%%

%% ARALIK VE ADIM

h = 0.5;           %aralık

xN = 10;             %x son

n = (xN-X0)/h;      %adım sayısı

%n = 1000;

%%

%% DENKLEM

fun = @(u,y,x) -u-y;

%%

%% DÜZELTİLMİŞ EULER

x = zeros([1 n]); x(1) = X0;

y = zeros([1 n]); y(1) = Y0;

u = zeros([1 n]); u(1) = U0;

for i = 1:n-1;

    x1 = x(i)+h;

    du0 = fun(u(i), y(i), x(i));

    u1p = u(i)+h*du0;

    y1c = y(i)+h*(u(i)+u1p)/2;

    u1c = u(i)+h*(du0+fun(u1p, y1c, x1))/2;

   

    x(i+1) = x1;

    y(i+1) = y1c;

    u(i+1) = u1c;

end

clear x1 y1p du0 u1p y1c u1c i;

%%

syms z(t);

solve = dsolve('D2z + Dz + z = 0', 'z(0)=pi/10', 'Dz(0)=0');

realf = symfun(solve, t);

plot(x, y, x, realf(x));

xlabel('X');

ylabel('Y');

legend('Düzeltilmiş Euler', 'Gerçek')

title(['Çözüm h: ' num2str(h)]);

Çizim sonucu:

Burada gerçek çözüm,

>> syms z(t);

solve = dsolve('D2z + Dz + z = 0', 'z(0)=pi/10', 'Dz(0)=0');

realf = symfun(solve, t);

>> realf

realf(t) =

(pi*exp(-t/2)*cos((3^(1/2)*t)/2))/10 + (3^(1/2)*pi*exp(-t/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/30

Komutları ile çözüldü.