Bu Takdirde: Frenet Serret Formülleri

Oldukça basitten başlayarak Frenet ve Serret formülleri açıklanmaya çalışıldı. Ortalama değer teoremi gibi temel teoremlerle, en temelden ifade edildi. Eğrilik ve Torsiyon gibi kavramlar önce sembolize edildi, ardından açıklanarak kabul gören notasyonla ifade edildi.

İçerik

1- Sonsuz küçükte eğri

2- Vektörün türevi

3- Ortalama değer teoremi

4- Eğri uzunluğu

5- Uzayda eğri

6- Teğet vektör

7- Normal vektör

8- Düzlemde normal vektör

9- Eğrilik

10- Uzayda normal vektör ve binormal vektör

11- Frenet Serret formüllerinin çıkarılışı

12- Torsiyon

13- Sonuç

Sonsuz Küçükte Eğri

(Şekil 1.1)

OCA, birim çemberin bir dilimi, OAB ve OCD birer dil üçgen olmak üzere,

Eşitsizliği yazılabilir.

Eşitsizliğin iki tarafını kullanarak:

Ve böylece:

Eşitsizliği elde edilmiş olur.

Açı sıfıra yakın ve pozitif olduğu durumda:

Elde edilir. Aynı sonuç açının negatif yaklaşımı için de geçerlidir. Nitekim eşitsizlik sadece yön değiştirecektir ancak limit durumunda aynı sonuç elde edilir.

Bu ifadeyi yorumlayacak olursak:

Çok küçük elemanlar için dr=ds olarak kullanılabilir.

Vektörün Türevi

İlk başlıktaki çember (Şekil 1.1) üzerinde bir vektör tanımlayalım ve limit durumunda ne yönde olduğunu bulmaya çalışalım.

Yönü araştırdığımız için CA vektörünü yönü değişmeyecek şekilde açıya oranlayalım:

Bir ara başlık olarak,

Dolayısıyla,

Olup, x eksenine dik bir vektördür. Aynı zamanda birim vektördür. Limit konumunda CA vektörünün yönü y eksenine doğrudur.

Daha genel olarak ifade edecek olursak,

t ye bağlı değişen ve boyu sabit ayrıca sıfırdan farklı bir vektör olmak üzere,

Uzunluk sabit olduğundan eşitliğin sağ tarafı sınıra eşit oldu. Zamana bağlı, uzunlukta bir değişim söz konusu olsaydı ifade olması beklenirdi. Sonuç olarak,

Olduğu söylenebilir. Çünkü skaler çarpım gereği birbirlerine dik olmalılar. Uzunlukları 0’dan farklı olduğundan tek ihtimal budur.

Ortalama Değer Teoremi

A ve B aralığında tanımlı, sürekli, diferansiyellenebilir bir fonksiyon olan f için,

Dönüşümü yapılarak da

Şeklinde gösterilebilir. Rolle teoremi ile ispatlanabilir.

Eğri Uzunluğu

A ve B aralığında tanımlı, sürekli, diferansiyellenebilir bir f fonksiyonu için, eğri uzunluğu ifade edilmek isteniyor.

noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğu,

İle ifade edilebilir. Ortalama değer teoremi kullanılarak bu ifade:

A ve B aralığında tüm s elemanları toplanarak eğri uzunluğu hesaplanabilir. Üst ve alt toplamların yakınsaması olan Reiman toplamı ile ifade de edilebilir. Ancak biz burada o kısım ile ilgilenmeyelim.

A, B ye yakınlaşırken C de B’ye yakınlaşır. Ortalama değer teoreminde ifade edilen diğer bir şekli ile:

A’nın B’ye yakınlaşması h’nin sıfıra yaklaşması demektir.

A ve B birbirine yakınlaşırsa tek bir değer onu ifade edebilir. Kısaca şu sonuca varılır:

Şayet eğri, parametrik olarak verilseydi, s elemanı:

Olup aynı ifadem:

Şeklinde olacaktı.

Uzayda Eğri

Şimdi ise

Şeklinde verilen r vektörlerinin oluşturacağı uzay eğriyi inceleyelim. Eğriyi şekillendirin iki t noktası alıp, bu aralıktaki eğrinin uzunluğunu ve yer değiştirme vektörünü inceleyelim. Eğri uzunluğunda yaptığımız gibi burada da küçük uzunluk elemanı:

Burada,

İfadesinin kısaltmasıdır.

Ortalama değer teoremi gereğince,

Burada k,l,m sayıları, seçilen t dilimi içerisinde bulunan bir sayı. Dilim sıfıra yaklaştıkça, bu sayılar da dilimin sınırına yaklaşır. Sonuç olarak tüm değerler t_0 ‘a yakınlaşmış olur. Böylece,

İfadesi elde edilir. İntegral hesabı ile küçük elemanlar toplanarak eğrinin uzunluğu hesaplanabilir. Ancak biz burada bu ifadeyi sürat olarak tanımlayıp bırakacağız.

Şimdi ise, yer değiştirme vektörünü inceleyelim.

Teğet Vektör

Yer değiştirme vektörünü ve eğri uzunluğu elemanını ifade etmiştik. Bu ifadeleri birbirine oranlayalım:

Dikkat edilirse bu işlem, yer değiştirme vektörünün doğrultusunu etkilemez. Sadece büyüklüğünü değiştirir. Eğer dikkat edilirse elde edilen yeni ifade bir birim vektördür. Yani başka bir deyişle yer değiştirme vektörünün şiddeti, eğri uzunluğu elemanıdır.

O halde, t dilimleri sonsuz küçük durumunda:

Elde edilir ve bu birim vektör teğet vektörü olarak adlandırılır. Sonuç olarak:

Elde edilir.

Normal Vektör

Vektörün türevi kısmında, şiddeti sabit olan bir vektörünün türevinin kendisine dik olduğunu görmüştük. Birim teğet vektör için şiddet daima birim olduğundan aynı çıkarımı onun için de yapabiliriz.

İfadesini s’ye göre türevlersek, teğete dik başka bir vektör elde ederiz. Ve elde ettiğimiz yeni vektörü de birim vektör cinsinden ifade edebiliriz. Daha sonra özel bir sembol kullanmak üzere bu yeni vektörün şiddetine A diyelim. Teğet vektörüne dik olan birim vektörüne de N diyelim.

O halde artık r vektörünün zamana göre ikinci türevini, bu iki birim vektör cinsinden yazabilirim.

Buradan A diye tanımladığım ifadeyi çekebilirim. Her tarafı teğet vektörle vektörel çarpıma sokarsam, üçüncü bir vektör elde ederim ve ona da B diyelim.

Teğet vektörünün tanımını kullanarak,

Elde edilir.

Düzlemde Normal Vektör

Aslında, uzay için konuşacak olursak, teğet vektöre dik olan birden fazla vektör tanımlanabilir. Şayet düzlem ile sınırlandırılırsa, normal vektörünün gösterilmesi sezgisel olarak da kolaylaşacaktır.

Farklı iki t aralığı için, iki teğet birim vektörü alınıp aynı merkeze getirilirse, uzunluğu değişmemiş ancak düzlem üzerinde bir miktar dönmüş iki vektöre dönüşür.

Bu iki vektör ile bir üçgen tamamlanırsa, bu üçgen ikizkenar üçgen olacaktır.

Buradan şöyle bir sonuç çıkarılabilir. Düzlem üzerinde alphanın değişimi basitçe türev cinsinden ifade edilebilir. Teğet vektörün alfaya değişim oranının şiddeti birdir. Ve aynı zamanda sonsuz küçükte eğri düşünülürse bu vektör teğete diktir.

Alfanın eğri uzunluğuna değişim oranı az önce kendine A dediğimiz değerdir. Peki, o halde neden onu tekrar bulduk? Çünkü, düzlemdeki bir eğride A’yı canlandırması oldukça kolay.

Eğrilik

A noktasındaki teğet ile B noktasındaki teğet, düzlemde birer doğru tanımlayacak olursalar, açıdaki değişimden dolayı bu iki doğru bir noktada kesişecektir. Ancak bundan daha iyisi, A noktasından geçen ve o noktadaki teğete dik olan doğru ile B noktasından geçen ve B noktasındaki teğete dik olan doğru da bir noktada kesişirler.

Limit konumunda, bu üçgen ile eğri birbirine yakınsar ve bu üçgen daire dilimini temsil eder.

Alfadaki değişim ile Thetadaki değişim aynı olacağından, düzlem için:

Elde edilir. Eğrilik yarıçapı ile isimlendirilir. Biz, az önce onu A ile isimlendirmiştik. Şimdi de o ismi değiştirerek,

İle isimlendirelim. Kendisine bundan sonra eğrilik diyeceğiz.

Eğrilik ile eğrilik yarıçapı arasında yukarıdaki gibi bir ilişki vardır. Esasında eğrilik yarıçapı bir uzunluğu temsil ettiğinden mutlak değerle gösterilmesi daha doğru olabilir.

Düzlemde eğrilik yarıçapına basitçe türevden de gösterebileceğimizi, alphanın türevle ilişkili olduğuna dayanarak söylemiştik.

Her iki tarafı x’e göre türetirsek:

Eğri uzunluğunu diferansiyel olarak ifade edersek:

Şeklinde gösterilebilir. O halde

Ve böylece:

Şeklinde gösterilebilir. Bu ifade y=f(x) şeklinde verilmiş bir eğri için pratiktir.

Uzayda Normal Vektör ve Binormal Vektör

Söz konusu uzaysa, teğet vektöre dik olan bir tane vektör yoktur. Ancak biz, o eğrilikle ilişkilendirdiğimiz dik vektörü şu şekilde tanımladık:

Aynı zamanda eğriliği ifade ederken her ikisine de dik başka bir vektör daha kullanmıştık.

Ve bir de elimizde teğet vektörün tanımı olan:

İfadesi bulunuyor. Bu ifadeler kullanılarak Frenet Serret formülleri elde edilebilir.

Frenet Serret Formüllerinin Çıkarılışı

Elimizdeki 3 birim vektörü birbirleri ile ve kendileri ile çarpımlara sokarak, çeşitli çıkarımlarda bulunabilirim. Örneğin,

Yaprak normal vektörün teğete dik olduğunu söylemiştik. Aynı şekilde tüm birim vektörler için söyleyebiliriz ki, s’e veya t’ye göre olsun fark etmez, türevleri sonucunda elde edilen vektörler kendilerine diktir.

Şimdi farklı vektörleri işleme sokarak çıkarımlarda bulunabilirim.

Burada zaten bildiğim bir ifade var. Dolayısıyla:

Ve böylece bulduğum ifadeyse şunu öğreniyorum. B’nin türevi kendisine diktir. Sarı ile gösterilmiş ifadeden anladığım ile T’ye de diktir. Dolayısıyla B’nin türevi N doğrultusundadır.

Burada da daha sonra isimlendirmek üzere bir C sembolize ediyorum. Vektörleri işleme sokmaya devam ediyorum:

N vektörünün türevinin T yönündeki bileşenini bulmuş oldum. N vektörünün türevinin kendisi üzerinde bir bileşeni olmadığını bulmuştum. Şayet varsa B yönündeki bileşenini de elde edelim.