Paralel Eksen ve Dik Eksen Teoremleri

Paralel Eksen Teoremi

 veya daha az boyuttaki noktalar kümesi bir cismi tanımlıyor olsun. Her nokta için x₁’e olan yakın uzaklık r ile gösterilsin. Eksene göre eylemsizlik momenti tanım gereği şu şekilde hesap edilir:

x₁ ‘e paralel olan bir x₂ ekseni d kadar uzaklıkta olsun. O halde bu yeni eksene göre eylemsizlik momenti hesabının ifadesi şu şekildedir:

d’nin yönüne göre    eşitliği olacağına dikkat edelim. O halde yeni eksene göre olan eylemsizlik hesabı:

 

 

 

Şayet x₁ ekseni için tüm r’lerin toplamı 0 yapıyorsa yani x₁, her r’ye karşılık bir –r gösterebilen bir eksen ise şöyle genelleyebiliriz:

Paralel eksen teoreminin daha özel hali:

  şeklindedir. Tüm r’ler için bir –r daha gösterebileceğimiz bir eksen bulmak için şöyle yapalım:

O halde, daha özel bir hal olarak, G üzerinden geçen bir x ekseni için bu söylenebilir. O halde bu eksene x, d kadar uzaklığındaki başka bir eksene de x’ diyecek olursak:

ile, bu yeni eksene göre eylemsizlik momentini hesap edebiliriz. Bu hesapta m (kütle) yerine A (alan) da kullanılabilir. Eğer alana bir kütle atfedilirse m = kA şeklinde birim alan başına k kütlesi şeklinde homojen bir kütle için kütle atalet momenti hesabı yapılabilir. k=1 ile de alan atalet momenti hesabı yapılmış olur. 

Dik eksen teoremi

Paralel eksen teoreminde tanımlanan cisim geçerli olsun ve üzerindeki herhangi bir A noktası için x ve y eksenlerine göre eylemsizlik momentlerinin ifadesi:

 , göz önünde bulundurursak,

Şimdi de z eksenine göre eylemsizlik momenti ifademizi yazalım.

Dik eksen teoremini daha özel bir durum için yazacak olursak,  D kümesi içindeki A(x,y) noktaları için, c daima c=0 olacaktır. Bu hal için,

eşitliği geçerlidir. Üç boyutlu bir cisim için bu özelleştirmenin doğru olmadığını söyleyebiliriz. Çünkü  toplamını 0 yapacak c^2 ‘ler toplamı sadece c=0 için geçerlidir. Kütle merkezinden geçen bir takım için bu toplam sıfırdır denemez. Örneğin bir kürenin kütle merkezi, kürenin merkezidir. O noktaya konuşlandırılmış bir takım için her eksene göre kütle atalet momenti toplamı aynıdır. Yani I_x = I_y = I_z şeklindedir. Yani yukarıda verilen özel hal geçerli değildir.