Bu Takdirde: Rezervuar Problemi

Rezervuar Problemi

Sifon haznesi, sabit debi ile dolarken belirli bir seviyeden sonra, doluluğuna bağlı olarak debisi azalmaktadır. Haznedeki su yüksekliği ile zaman arasında bağlantı kurulabilir mi? Kurulabilirse bu bağlantı nedir?

Q su debisi, y haznedeki su yüksekliği ve q₀ azami ya da başlangıç debisi olmak üzere:

Şeklinde modellenebilir. Burada u, debinin azalmaya başladığı yüksekliktir. Bu yüksekliğin üzerinde Q y’nin bir fonksiyonu ile azalır. Çünkü her y için tek bir y-u değeri vardır ve her bir y-u değeri için debi sadece tek bir değer alır. Yani:

O halde:

Şeklinde sürekli bir f fonksiyonu tanımlanabilir. Çok basit bir model olması açısından,

Şeklinde tanımlansın. Yani u’yu geçen her mesafenin bir k katı kadar debide azalma meydana gelsin. Şimdi de debinin tanımından faydalanarak y(t) ifadesi yapabileceğimiz diferansiyel denklemi elde edelim:

Böylece iki parça için elde edilen denklemler:

Birinci mertebeden ayrıştırılabilir ve lineer diferansiyel denklemleri bulunur. [I] no’lu denklem için başlangıç koşulu t=0 için y=0’dır. Ve çözümü uzatmadan şu şekildedir:

Parçanın aralığını belirleyecek olursak, yani u=y(t₀) sağlayan t₀ değeri:

Q₀başlangıç debisinin A’ya bölümünü, v₀ ile gösterip kendisine y’nin başlangıçtaki değişim oranı veya y’nin azami değişim oranı diyelim. Zaten debi artmayacağından bu problem için ikisi aynı şeydir.

[II] no’lu denklem için sınır değeri t=t₀ için y=u’dur. Ve bu şekilde y(t) parçalı fonksiyonu sürekli olacak şekildedir. [II] no’lu denklem birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemdir ve genel çözümü:

Olup, k/A = τ ile gösterecek olursak:

Başlangıç koşulu ile C sayısı bulunabilir. Böylece:

Bulunup ikinci parça için Y(t):

Elde edilir. O halde genel ifadesi ile Y:

Sabitlere değerler verip fonksiyonu çizdirmeden önce, y’nin sürekli ve sonsuzda bir değere yakınsadığını gözlemleyebiliriz. (Fonksiyon sürekli olduğu gibi türevi de süreklidir.)

Bir dolma süresi belirleyecek olursak, bu tarz bir fonksiyon için sonsuz çıkar. Su yüksekliğini bir tolerans değerinden daha hassas yer değiştirmediği düşünülerek; debinin değişim oranının tolerans değeri altına indiği tau’yu belirleyebiliriz. TD bu belirlenen tolerans değeri olmak üzere:

K burada kesilmesi için verilen toleransa göre belirlenecek olan bir sabittir. Şimdi değerler vererek eğriyi çizdirelim. Gerçeğe yakın ölçülerle çalışacak olursak: taban alanı 0.2 m^2; kısılmaya başladığı yükseklik (u) 0.5 m; başlangıç hızı (v_0) 0.025 m/s; yaklaşık 15 cm sonra debinin tamamen durduğunu düşünürsek de,

Toleransı 1 mm/s olarak belirlersek, K yaklaşık olarak -3 çıkar. Dolum süresi de

Bulunur.

F fonksiyonu, yani y ile debi arasındaki ilişki, çok basit modellenmişti. Nonlineer modellenirse diferansiyel denklemin çözümü zorlaşabilir. Çözüm bulunsa bile y(t) şeklinde yazılamayabilir. F fonksiyonu sayısal olarak [y_iQ_i] ikilileri ile deneysel olarak da modellenebilir. Yine interpolasyon eğrileri uydurularak çözülebilir. Ancak tüm bunların yanında sayısal olarak da çözülebilir.

Yukarıdaki işlemlerde kesit alanının sabit olduğu düşünülmüştü.