Frenet Serret Formülleri

Oldukça basitten başlayarak Frenet ve Serret formülleri açıklanmaya çalışıldı. Ortalama değer teoremi gibi temel teoremlerle, en temelden ifade edildi. Eğrilik ve Torsiyon gibi kavramlar önce sembolize edildi, ardından açıklanarak kabul gören notasyonla ifade edildi.

İçerik

1-      Sonsuz küçükte eğri

2-      Vektörün türevi

3-      Ortalama değer teoremi

4-      Eğri uzunluğu

5-      Uzayda eğri

6-      Teğet vektör

7-      Normal vektör

8-      Düzlemde normal vektör

9-      Eğrilik

10-  Uzayda normal vektör ve binormal vektör

11-  Frenet Serret formüllerinin çıkarılışı

12-  Torsiyon

13-  Sonuç

Titreşim Hareketi Yapan Zeminde Salınım Problemi

B noktasından, A hareket eden parçaya, serbestçe dönebilecek şekilde bağlanmış BC çubuğu salınım hareketi yapması amacıyla serbest bırakılıyor. Ayrıca O etrafında sabit açısal hız yapan disk ile A parçası titreşim hareketi yapmaktadır. Bu mekanizma ile BC çubuğunun hareketi incelenmek isteniyor.

Disk için herhangi bir moment sıkıntısı olmadığı varsayılıp B noktasının hareketi şu şekilde kabul edilsin:

Düzeltilmiş Euler Metodu ile Diferansiyel Denklem Çözümü

n. mertebeye kadar türevlenebilir ve her türevi, tanım aralığında sürekli olan bir f fonksiyonu için, tanımlı olduğu bir x noktası civarında Taylor açılımı yazılacak olursa:

İfadesi elde edilir.

Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem:

İle veriliyor olsun. Taylor açılımı ile birleştirilecek olursa:

Elde edilir.

Rezervuar Problemi

Rezervuar Problemi

Sifon haznesi, sabit debi ile dolarken belirli bir seviyeden sonra, doluluğuna bağlı olarak debisi azalmaktadır. Haznedeki su yüksekliği ile zaman arasında bağlantı kurulabilir mi? Kurulabilirse bu bağlantı nedir?

Q su debisi, y haznedeki su yüksekliği ve q₀ azami ya da başlangıç debisi olmak üzere:

Şeklinde modellenebilir. Burada u, debinin azalmaya başladığı yüksekliktir. Bu yüksekliğin üzerinde Q y’nin bir fonksiyonu ile azalır. Çünkü her y için tek bir y-u değeri vardır ve her bir y-u değeri için debi sadece tek bir değer alır. Yani: