Bu Takdirde: Havuz Problemi

İçinde durağan akışkan bulunan derin kap, dibine yakın civarda yüksek basınçlı akışkan bulundurur. Dolayısıyla derine inildikçe daha yoğun maddeye ulaşılır. Derin kapta bulunan akışkan toplam hacmi değişmeyecek şekilde daha sığ kaplara bölüştürülürse, derin kapta akışkan artması gerekir.

A taban alanına sahip kaptaki akışkan, dipten tavana doğru, n parçaya bölünsün. Olayın izahı için ilk ve son parça kıyaslanabilir.

İlk parçanın daha fazla basınç altında olduğu açıktır. Akışkanı değişik şekillerde modelleyebiliriz.

İlk modelimiz şu şekilde olsun:

Ayrıca buradan akışkanın özkütlesini şu şekilde ifade edelim:

O halde zeminden Y_i kadar yükseklikten itibaren olan i’inci parçayı P₀basınçlı bir ortama taşıyarak son hacmini inceleyelim.

Çok kısa bir şekilde,

Olup P fonksiyonu bilinmemektedir. P fonksiyonu ayrıntısı açıklanmak üzere şu şekilde tanımlanacak olup:

Şu diferansiyel denklem elde edilir:

Çözülerek y cinsinden elde edilen P ile tüm V₀ elemanları toplanarak çözüme ulaşılabilir. Ayrıntılı inceleyecek olursak i’inci parçanın hacmi:

Burada kap boyunca A’nın sabit olduğunu kabul ediyoruz.

Burada P, seçtiğimiz parçaya tesir eden toplam basınçtır. Ve bu basınç atmosfer basıncına ek olarak, tavana kadar olan tüm dilimlerin oluşturacağı basınçların toplamı kadardır. Her küçük dilimin oluşturacağı basınca H diyerek, P’yi ifade edelim.

İ’inci elemandan son elemana kadar seçilen her bir eleman için H’nın ifadesi yani dilimlerin basıncı, bir k dilimi için:

O halde P ifadesi şu şekilde olur:

Dikkat edilirse P nin dilimi H nin diliminden bir adım geridedir. Limit durumunda bu iki dilim birbirine yaklaşacağından şu an için bir problem yok.

Akışkan modellenirken özkütlesi ifade edilmişti. Yerine koyarak yazarsak:

Elde edilir. O halde bir G fonksiyonu tanımlayalım.

Diferansiyel denklem elde etmek amacıyla bu G fonksiyonunu kullanacağım. Dikkat edilirse:

Elde edilebileceği gibi,

Elde edilir.

Dolayısıyla

Diferansiyel denklemi elde edilir. G cinsinden elde edilen denklem ile:

P cinsinden elde edilen denklemlerin çözümleri ortaktır. Y=h için G’nin 0 olduğuna dikkat edilmeli.

Bu ifadeyi H içerisindeki P yerine yazabildiğimiz gibi temel ifadedeki P yerine de yazabiliriz. Temel ifadedeki elemanların toplamı:

Şeklinde gösterilebilir ve bu Reiman toplamı:

İle hesaplanır. Şimdi temel ifade yerine H içerisinde yazarak da aynı ifadenin sağlamasını yapalım ve toplamı yapalım:

Aynı şekilde bu toplama üst ve alt sınır getirilerek şu şekilde hesaplanabilir:

O halde az önce elde ettiğimiz gibi:

Şimdi k sabitini bir referans özkütle ve basınç ile ifade edelim.

Yazılarak:

Elde edilir. Basınçların oranına a diyerek:

Dikkat edilirse a bir oran olduğundan daima sıfırdan büyüktür. Sıfıra pozitif yönden yakın olan bir a için V₀değeri V değerinden büyüktür. Ancak ve ancak a sonsuza giderken iki değer birbirine eşit olur.

Şimdi, çözüme başlarken kullandığımız modellemeyi değiştirerek:

Modelini kullanalım. Burada özkütle ile basınç arasında lineer ilişki vardır. Az önceki gibi detayına girmeden hesabını yapacak olursak, kütlenin sabit kaldığından dolayı:

Küçük bir dV hacmi için:

Buradan özkütle ile y arasındaki ilişkiyi çıkarmak için, üstteki dilimler toplamından faydalanarak diferansiyel denklem çıkartalım.

Böylece dV’leri toplayabilirim.

Sonucu elde edilir.

İlk modelimize göre:

Bunu sıkıştırılabilir akışkanlar için kullanabiliriz. Aslında burada da özkütle ile basınç arasında lineer bir ilişki olup doğru orantılıdır. Dikkat edilirse ikinci modeldeki tek fark k yerine B’nin gelmiş olmasıdır. İlk modelde k farklı cinslerden yazılıp formülde gizlenmiştir.

Öte yandan özkütlenin değişimini P ile lineer bir denklem olarak elde edebiliyorsak diğer sonucu kullanabiliriz. Bu lineer denklem regresyon analizi ile belirlenebilir. Örneğin saf maddenin hal tablolarından bu denklem elde edilebilir.

Elde edilen sonuçların birim analizini yapacak olursak, hacim harici terimlerin birimsiz olduğu anlaşılabilir.

Örneğin,

20m x 50m ölçülerinde ve derinliği 3 metre olan bir havuz düşünelim. Suyun yoğunluğunu basınca bağlı bir lineer denklem ile modelleyerek, elde ettiğimiz ikinci formülü kullanalım.