Stirling Motoru Tasarımı - 3: Dinamik Hesapları

Dinamik Hesabı:

Kinetik Kazanç

Çevrim boyunca T sabit olduğunda basınç θ ilişkisini görmüştük.

Sisteme ısı verilmediğinde, sürtünme ihmal edildiğinde ve sıkıştırma işi yardımcı bir işle sağlandığında:

Her hangi bir kayıp söz konusu olmadığında,

Şeklindedir. Sıkıştırmaya hangi kinetik enerjiyle başlandıysa, her turda o kinetik enerjiye ulaşılır. T_B ara adımında kazanç veya kayıp söz konusu olacaktır. Kinetik enerjide bir yalpalama bir düzensizlik olacağı buradan anlaşılabilir.

Şayet sürtünme ve bir takım kayıplar hesaba katılırsa:

Yani her turda kinetik kayıp söz konusu olur. Şimdi ise sisteme ısı verildiği durumu inceleyelim.

Burada öncelikle 4-1 ve 2-3 adımlarında iş yapmadığından T₃=T₂ kullanabiliriz.

Aynı şekilde sıkıştırma anında yardım işi hesaba katalım:

Aynı şekilde genişleme kısmı için enerji ifadesi:

Elde ettiğim iki ifadeden, bir çevrim sonucu enerji ifadesi:

Böylece elde ettiğim üç ifadeden hareketle kinetik kazancın şartlarını çıkarabilirim. Çevrimin ilk yarısında kinetik kazanç koşulu, (a) ifadesinden:

Diğer yarısındaki kazanç şartı, (b) ifadesinden:

(I) ve (II) koşullarından elde edilebileceği gibi, (c) ifadesinden de net kazancı şu şartla sağlayabilirim:

Elde edilen eşitsizlikler, net kazanç ve her yarım turdaki kinetik kazancı kontrol etmemi sağlayacak.

Yardımcı İş U_y :

Yardımcı iş sıkıştırma sırasında kâr, genişleme sırasında zarar olan bir enerji. Şayet birden fazla piston bulunsaydı genişleme sırasında kazandığı işin bir kısmını, üzerinde çalıştığım pistonun sıkıştırma anındaki yardımcı işi yapabilirdim. Ancak burada Uy yerçekimine yaptırılması denenecek.

Tasarım sabitleri belirlenirken yaklaşık hesapla δ açısı bulunarak:

Şeklinde yazılabiliyordu. O halde sıkıştırma ve genişleme aralıklarını bu ifadenin ekstremum noktalarını bularak çıkartalım.

Burada  aralığında U_y > 0 olup iş yapmalıdır. O halde yardımcı işi yapacak ağırlık maksimum noktasında düşmeye hazır olmalı yani π/2 konumunda olmalıdır.

Yardımcı ağırlığın sıcak pistona izafen nerede olması gerektiği şu şekilde hesaplanabilir:

θ’nın minimum noktasına gelmesi için yarım tur geçmelidir. O konuma geldiğinde yardımcı ağırlığın iş yapmasının durması yani düşmenin tamamlanması gerekir. Zaten yarım tur sonra ağırlık o konuma geleceğinden ayrıca kontrol etmeye gerek duymuyorum, karmaşık bir durum yok.

Yardımcı İş U_y ‘nin Hesabı:

Sadece iş yapan kuvvetlerin yaptığı iş hesaplanacak çünkü kinetik enerjilerin toplamında yardımcı ağırlığın kinetik enerjisi hesaba katılacaktır. Burada β düşmeye başladığı andan itibaren açıdır.

Hesaplanır. Tam ters hale gelmesi durumunda da bulunan sonuç kayıp olarak değerlendirilebilir.

Yukarıda elde ettiğimiz (I) ve (II) numaralı eşitsizlikler gereği U’nun değeri:

Olmalıdır.

Kinetik Kazancın Durması

Kinetik kazanç üç eşitsizliğin sağlanması durumunda gerçekleşiyordu.

a)      Sürtünme Kaynaklı:

(III) eşitsizliğine bakacak olursak kaybolan enerji açısal hızın artışına bağlı olarak gerek hava direnci gerekse mekanik sürtünmeden dolayı artacaktır. Belirli bir limit hıza ulaştıktan sonra (III) eşitsizliğinin bozulup, kinetik bir denge sağlanması beklenir.

b)      Isıtma Yetersizliğinden Kaynaklı:

Isıtma işleminin yoğun olarak sürdüğü açı aralığı, açısal hız arasındaki bağıntıdan ne kadar süre ısıtmanın gerçekleştiği hesaplanabilir.

Isıtıcının gücü biliniyor olursa:

Böylece,

İfadesi elde edilir. T3 sıcaklığının değeri, ısıtıcının gücüyle arttığı ve açısal hızla azaldığı böylece modellenmiş olur. Çevrim sonucu gelir işim T3 sıcaklığına bağlı idi.

O halde bir limit w hızı için (II) eşitsizliği:

Halini alıp kinetik kazancı durduracaktır.

c)       Soğutma Yetersizliğinden Kaynaklı:

Isıtıcının modellendiği gibi soğutucu da modellenebilir. T4=T3 ve T1=T2 eşitlikleri göz önünde bulundurularak:

Elde edilir. Termodinamik hesabı yapılırken T5=T1 olması istenen durumdur denmişti. İstenen durum için:

Seçilmelidir.  T5 in T1 den uzaklaşması yani yeteri kadar soğutma yapılmaması durumunda (I) eşitsizliği bozulup kinetik kazancı durdurabilir. O halde bir w hızı için soğutma işi ısıtma işini yakalayamayabilir:

Böylece kinetik kazanç durmuş olur.

d)      Doğruluk Tablosu ve Beklenen Olaylar:

	I	II	III	Beklenen Olay
Durum 1	1	1	1	Kinetik kazanç vardır. Anlık olarak hızlanma gerçekleşir.
Durum 2	1	0	1	Düzensiz kinetik kazanç söz konusudur. Yalpalama ve açısal hızda ani değişimler beklenir.
	0	1
Durum 3	1	0	0	Net kazanç yoktur. Hızlanma gerçekleşmez. Denge söz konusu olsa da açısal hızda düzensizlik beklenir. Yeteri kadar başlangıç hızı olmadığında harmonik hareket yapabilir.
	0	1
Durum 4	0	0	0	Kinetik kazanç yoktur. Sahip olduğu kinetikle devam edebileceği gibi yavaşlama da gerçekleşebilir.

İstenen durum: Durum1 ve Durum4 şeklinde çalışması istenir. Açısal hızda düzensizlikler olması beklenmez. Elde edebileceği en yüksek kinetik enerjiyi elde edip durum4 konumuna gelip devam etmesi istenen durumdur.

Toplam Kinetik Enerji:

Durumlara göre enerji hesabı yapılsa da toplam kinetik enerjinin hesabı henüz yapılmadı.

Yardımcı ağırlık ile mil aynı açısal hızda dönmektedir.

(a),(b) ve (c) ifadelerinde U ve T yerlerine yazılırsa, (a):

(b):

 (c):

Değişkenlerin Birleştirilmesi

İfadeleri ile her yarım turda bir açısal hızlar hesaplanabilir. T3 ün kesin değil ama kabaca değerini belirleyebilmek için kayıp enerjiyi iş ifadesine lineer bağlayalım. (I) ve (II) eşitsizliklerini kullanarak yazdığımız Uy’nin aralıklarını tekrar yazalım:

Türettiğimiz ifadeleri yerlerine yazarsak:

Genel ifadesi elde ederiz. Açısal hızın artışına bağlı olarak çevrimdeki daralmayı da hesaba katarsak:

Eşitsizlik zincirini elde ederiz. Buradan T3 ve T7 ısıtıcının gücüyle; T5 ve T1 de soğutucunun gücüyle hesaba katılacak değerlerdir. N=0.2 yani %20’lik bir kayıp düşünürsek:

İki aralığın tam ortasını alabiliriz:

Eşitliğinden yardımcı ağırlığın bazı ancak yeterli özelliklerini elde etmiş oluruz. Bu elde ettiğimiz değer (I) ve (II) eşitsizliklerinden elde edildi. (III) eşitsizliği (I) ve (II)‘nin bir sonucu olduğundan (III) eşitsizliği de sağlanmış olur. Böylece ısıtıcı gücü, soğutucu gücü, T3 sıcaklığı, kinetik kazanç, yardımcı ağırlığın bazı özellikleri, sıkıştırma oranı gibi değişkenleri birbirine bağlamış olduk.