Pakette 100 ₺ değerinde para olduğunu ve 4 ay boyunca sabit kaldığını varsayalım. Bu 4 ay boyunca TÜFE’nin sabit olduğunu ve değerinin ayda 5% olduğunu düşünelim. Maliyeti 10 ₺ olan bir ürün ilk ay 10 defa alınabilir. Bir sonraki ay, maliyeti 10 ₺ olan ürün 1% artmıştır. Dolayısıyla bir sonraki ay maliyet aşağıdaki gibi hesaplanır:
Bu hesaplamar 4 ay için sürekli yapıldığında aşağıdaki gibi bir tablo elde edilir.
Ay # | Maliyet (₺) | Paket (₺) | Alım adedi (adet) |
1 | 10.00 | 100 | 10.00 |
2 | 10.50 | 100 | 9.52 |
3 | 11.03 | 100 | 9.07 |
4 | 11.58 | 100 |
8.64 |
Tablo incelenek olursa, maliyetin sürekli artmasına karşılık alım adedinde azalma meydana gelmektedir. Alım adedindeki bu azalmayı diferansiyel olarak ifade edelim. M: maliyet, c: alım adedi, y: paket/cüzdan olsun.
İfade zamana göre türetilirse,
Bu modelde, paketin zamanla değişmediği varsayılmıştır. Dolayısıyla y’nin zamana göre türevi sıfırdır. Şayet bir gelir ve gider söz konusu olursa bu değer sabit kalmayacaktır. Maliyetin zamanla artışı ile TÜFE arasında ilişki kurulabilir.
Buradaki N sayısı, belirli bir zaman aralığındaki artıştır. Anlık değerler kullanıldığında aşağıdaki gibi olacaktır.
Böylece temel diferansiyel denklem aşağıdaki gibi olacaktır.
Elde edilen diferansiyel denklem ayrıştırılabilir bir diferansiyel denklemdir. Çözümü aşağıdaki gibidir.
Burada n’nin birimi zamana göre olmalıdır. Nitekim zaman üzerinden integrali alınarak esas birimine ulaşılır. Bu değerin zaman aralığı ay tercih edildiğinde zamanın birimi de ay olmalıdır. Örneğin 15. aya ait aylık TÜFE değeri 2% ise integral aralıkları aya göre olup 15. aydan 16 aya kadar olacaktır.
Aylık TÜFE değerlerinden oluşan bir veri dizisi oluşturalım. Bu veri dizisi her ayın TÜFE değerinden oluşmaktadır ve her ay değişmektedir. Tüm veriler aynı zaman aralıklarına sahip olup zaman aralığı 1 aydır.
n = [0.1 0.2 0.1 0.3 0.1]/100;
aylar = 1:length(n);
stem(aylar, n*100);
xlim([0 max(aylar)+1]);
ylabel('Aylık Tüfe %'); xlabel('Ay #'); grid;
Veri dizisinin integrali ayrık veriler ile yaklaşık olarak hesaplayalım. Bunun için oluşturulan algoritma her t numaralı aya kadar olan n değerlerinin toplamını hesaplar.
dt = 1; %zaman aralıkları (ay)
int_n = zeros(1, length(n));
for n1 = 1:length(n)
int_n(n1) = sum(n(1:n1))*dt;
end
plot(aylar, int_n);
xlabel('Ay #'); title('\int_{t_0}^{t} n(t)dt'); grid;
Başlangıç maliyet değerinin 10 TL, paketteki para değerinin ise 100 TL olduğunu varsayarsak, başlangıç miktarını 10 adet olur. c'nin zamana göre değişimi aşağıdaki gibi olacaktır.
M_0 = 10;
y = 100;
c_0 = y/M_0;
c = c_0*exp(-int_n);
plot(aylar, c);
ylabel('c (adet)'); xlabel('Ay #'); grid;
Ayrıca, M değeri de elde edilebilir.
M = y./c;
plot(aylar, M, 'r');
ylabel('Maliyet (TL)'); xlabel('Ay #'); grid;
Yukarıdaki örnek denemeyi gerçek TUFE değerleri ile 3 yıllık olarak hesapladığımızda aşağıdaki gibi bir sonuç elde edilecektir.
clear all;
n = [ 1.2500 2.3000 2.1300 0.9700 0.8600 0.5800...
1.1300 1.3600 0.8500 0.5700 0.3500 1.3500...
0.7400 0.3800 2.0000 0.9900 0.8600 1.3600...
0.0300 0.9500 1.6900 1.0300 0.1600 1.0600...
-0.4000 -1.4400 2.6700 6.3000 2.3000 0.5500...
2.6100 1.6200 1.8700 0.9900 0.7300 1.0200 ]/100;
aylar = 1:length(n);
dt = 1;
int_n = zeros(1, length(n));
for n1 = 1:length(n)
int_n(n1) = sum(n(1:n1))*dt;
end
M_0 = 10; y = 100; c_0 = y/M_0;
c = c_0*exp(-int_n);
M = y./c;
f = clf; f.Position = [243 130 777 536];
subplot(3,1,1); stem(aylar, n);
ylabel('%'); xlabel('Ay #'); grid; axis tight;
title('TÜFE (aylık %)')
subplot(3,1,2); plot(aylar, c);
ylabel('adet'); xlabel('Ay #'); grid; axis tight;
title('Alım Miktarı');
subplot(3,1,3); plot(aylar, M, 'r');
ylabel('TL'); xlabel('Ay #'); grid; axis tight;
title('Maliyet');
36 ay önce sahip olunan 100 TL değerindeki para ile 10 defa alınabilen 10 TL'lik ürün için şu istatistikler söylenebilir:
fprintf(['Başlangıç:\n\tİlk ücret = %.3f TL\n\t' ...
'İlk alım adedi = %.3f adet\n'],M_0,c_0);
M_final = M(end);
c_final = c(end);
fprintf(['%d ay sonra:\n\tYeni fiyat = %.3f TL\n\t'...
'Alım adedi = %.3f adet\n'],length(n), M_final, c_final);
Başlangıç:
İlk ücret = 10.000 TL
İlk alım adedi = 10.000 adet
36 ay sonra:
Yeni fiyat = 15.491 TL
Alım adedi = 6.455 adet
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder