Kütle Merkezinin Statik Analizde Avantajları

Problemin tam tanımını bir örnek ile canlandırmaya çalışalım. Bir tahterevalli düşünelim. Her iki oturma yerinde de birer çocuğun oturduğu bir tahterevalli olsun. Dengede olma koşulu, döner mafsal eksenine olan momentlerin sıfır olmasıyla sağlanır. Her çocuğun oturduğu yerden ağırlığı şiddetince moment değeri vardır. Fakat tam olarak kuvvetin etki ettiği nokta neresidir? Örneğin bir tarafta 2 çocuk bulunsun. Veya 4, 8, 10 hatta sonsuz tane. Yayılı bir yük şeklinde etki ettiğinde tam olarak etki noktası neresi olur? Veya çocuklardan birinin poposu öylesine geniş olsun ki çocuğun oluşturacağı kuvvetin kuvvet kolunu seçmek zorlaşsın. Bu yazıda, kütle merkezi veya kuvvet merkezi gibi tanımlar yardımıyla bu problemin daha sistematik ve daha kolay çözülebildiğini göstermeyi amaçlıyorum. Öte yandan bu süreç öylesine sezgisel ki kimse bununla ilgili bir ispat beklemiyor da olabilir. Ancak bu sayede kütle merkezi tanımının aslında ne kadar manidar olduğunu anlaşılmış olacaktır.

Tek boyutlu bir yayılı yük düşünelim. Yayılı yük ile meydana gelen toplam kuvveti kolayca hesap edebiliriz.

Ve bildiğimiz gibi kuvvet merkezi, o nokta etrafında herhangi bir toplam momentin oluşmadığı nokta olarak canlandırılabilir. Nitekim yayılı kuvvetin orijine göre olan tüm momentlerinin ifadesi şu şekildedir:

Aynı moment bu merkeze toplam kuvvet cinsinden ifade edilebilir ki bu kuvvet merkezinin yeridir. Kuvvet merkezini ile gösterelim ve merkez şu şekilde bulunur:

Yukarıdaki eşitlik aynı zamanda şudur:

Kuvvet merkezine göre momentler toplamının sıfıra eşit olduğunu gösterelim:

Dolayısıyla bu nokta öyle bir noktadır ki eğer yayılı yükü o noktadan döner mafsal ile bağlasak (veya o noktadan bir parça ile dengelesek) parça herhangi bir tarafa düşmez: denge noktasıdır.

Yayılı bir yükün, yükün tanımlı olduğu küme içerisinde veya dışarısında olan herhangi bir noktaya göre momentini aldığımızda, her bir noktaya dağılmış olan yükün oluşturduğu tüm momentleri toplamamız gerekir. 2 tane çocuğun olduğu tahterevalli örneğini hatırlayalım. Sırayla her iki çocuğun momentleri toplanır. Yayılı yük, belirli bir mesafeye sonsuz çocuğun sığdırılması benzetilebilir. Tüm çocukların teker teker momentlerinin alınması gerekir.

Örneğin bir A kümesi içerisinde tanımlanan yayılı yükü ele alalım. Tüm yüklerin P noktasına göre momentini alalım.

Bu hesabın neticesinde yükün oluşturduğu moment bulunur. Fakat bu integralin alınması yerine bazı alternatifler uygulanabilir.

Kuvvet merkezi tanımını kullanarak bu hesabı integral dışında hesap edebiliriz.

Dolayısıyla görülüyor ki yayılı yükün kuvvet merkezinden olan mesafe doğrudan moment koludur. Bu yöntemle yayılı yük tipi ile moment hesabı farklı iki kategoride analiz edilebilir.

Daha genel bir ifade ile bu durum daha fazla boyutlu durumlardaki normal yüklemeler için de geçerlidir. Kuvvetlerin sadece yüzeye dik olduklarını düşünmek (örneğin tavadaki bir salamın ağırlığı ile oluşturduğu bası gibi) tanımlamaları daha da kolaylaştıracaktır.

Benzer şekilde tüm momentlerin ifadesi de yazılabilir.

Benzer şekilde yüklemenin, P noktasına olan kuvvet kolu vektörü yerine, A kümesi içerindeki kuvvet merkezi noktasına göre olan vektör cinsinden eşiti yazılabilir. Burada, kuvvet merkezi noktası ve bu noktaya göre olan konumlar ise ile gösterilsin.

Dikkat edilirse buradaki terimlerden biri, yüklemenin kendi içindeki momentleridir. Dolayısıyla son terimin değeri sıfıra eşittir. Kuvvet merkezi ise tanımı kullanılarak bu gösterilebilir.

Sonuç olarak toplam moment, yayılı yükün merkezinden olan mesafenin kuvvet kolu olarak kullanılabileceğidir.