Eğilme Modeli

Bir model olarak eğilen bir kirişin, şekil değişimi meydana gelmeyen hayali bir lifin (tarafsız eksen) ve gerilmeye maruz kalan diğer liflerin yay oluşturduğu iddia edilir.

Tarafsız eksen aynı zamanda eğri üzerindeki konumu ifade eder. Ancak kirişin, boyunun uzandığı eksen ile yaklaşık olarak verilebilir.

Bu yaklaşım, tarafsız eksene y kadar uzaklıkta bulunan lifteki şekil değişimini daha basite indirger.

Burada y’nin pozitif değerlerine karşılık bir daralma, yani negatif şekil değişimi meydana gelir. Y’nin referansı zıt seçilerek bu işaretten kurtulmak da seçenekler arasında.

O halde y’ye bağlı gerilme ifadesi yazılabilir.

Seçilecek olan herhangi bir kesit için kuvvet dengesi sağlanacağı gibi moment dengesi de sağlanacaktır. O halde, herhangi bir kesit için moment:

Toplama denktir. Gerçekte, daha doğru olacak şekilde,

İle gösterilebilir. Burada n, yüzeye dik olan ve gerilmenin gönünü gösteren vektördür. Aynı şekilde b vektörü de kaymanın yönünü gösteren vektördür. Delta elemanları ise yüzey alanı elemanlarıdır.

Gerilmede dağılımın olması bir kayma gerilmesini ortaya çıkarsa da biz onu şimdilik ihmal edelim. Ve yüzey alanı elemanlarının da basit yüzeyler olduğunu düşünelim.

Burada, çeki gerilmesi pozitif referans alındı.

O halde:

Şekline gelir. Modellenen sigma fonksiyonu yerine yazılarak:

Burada moment ve atalet indisleri z seçildi. Bu tamamen referansa göre değişebilir. Kirişin x eksenine doğru uzandığı ve yz arakesitlerinin z etrafında döndüğü eksene göre indis seçildi.

Bu konudaki ayrıntılar için bu başlığa bakabilirsiniz: Limit Hesaplar ile Eğilmede Gerilmeler

Elde edilen ifadeden hareketle,

Moment ve atalet hesabındaki i indisi, kirişteki arakesitlerin etrafında döndüğü eksendir. Buradaki +- sembolüne değinecek olursak, sebebi tanımdan kaynaklanır.

Referans koordinat sistemimize göre pozitif moment altında kiriş yukarı konveks bir şekil alacaktır. Dolayısıyla eğriliği pozitif olacaktır.

Aslında buraya kadar başlığa dair henüz bir yere gelmedik. Şu alıntıyı yerinde görüyorum:

"Bir teoremi kanıtlamak için birisinin anlamak zorunda olduğu kavramlar, çoğu kez, o kişinin teoremi uygulamak için anlamak zorunda olduğu kavramlardır." Steve Whitaker, Kimya Mühendisliği, California Uni

Eğriliğin İfadesi

Eğilme modellenirken, eğri üzerindeki konum (s) ile x in birbirine çok yakın olduğu düşünülmüştü. Şimdi bu yaklaşımı sürdürerek daha basit bir eğrilik ifadesi elde etmeye çalışalım.

Eğrilik ve eğrilik yarıçapı ile ilgili ayrıntılı başlığım: Frenet Serret Formülleri

Eğriliğin düzlemdeki tanımıdır. Burada theta açısı, eğriye çizilen teğete eğimini veren açıdır ve eğrilen kiriş için oldukça küçüktür. Şayet tanjant fonksiyonunun sıfır civarında taylor açılımına bakarsak,

Açı arttıkça hata sonsuza (elbette periyodik olarak) yakınsasa da küçük açılar için oldukça azdır. O halde:

Böylece eğrilik, ds=dx yaklaşımı da göz önüne alınarak, çok basitçe yaklaşık olarak şöyledir,

Eğer;

Kirişin sehimi (veya eğilme sonucu oluşan eğrinin uzunluğu) x ekseninden fazla uzaklaşmıyorsa,

Kirişin eğimi, radyan cinsinden, sıfıra çok yakınsa

Diferansiyel denklemi kullanılabilir.

Farklı Bir Kanıt

S ile x arasındaki dönüşüm, düzlemde, şu şekilde hesaplanır:

Yaklaşımın, yani x ~ s, doğru olabilmesi için integraldeki ifadenin 1 olması gerekir. Aynı şekilde düzlemde eğriliğin ifadesine bakacak olursak,

İfadenin 1’e eşit veya yaklaşık eşit olması durumunda eğrilik eğrinin x e göre ikinci mertebeden türevine eşit olur.

Moment Alan Teoremleri

Eğrilen kirişin oluşturacağı şekil, y(x) fonksiyonuyla verilsin. Dolayısıyla kiriş x eksenine uzanmış ve x ekseni etrafında zorlanmaktadır.

Kiriş üzerindeki herhangi bir P noktası için, P noktasına götüren s veya x e karşılık P noktasındaki momenti veren fonksiyon da M(x) olsun.

Teorem 1

Y(x) fonksiyonunun birinci mertebeden türevi eğim olup, theta ile gösterilsin. Böylece:

M fonksiyonunun integrali moment diyagramı altında kalan alandır. İlk teorem, ayrıştırılabilir bir diferansiyel denklemin çözümüdür. Analitik metottan tek farkı C sabitiyle uğraştırmaması.

Teorem 2

Teorem 1 de elde edilen diferansiyel denklemi çözmeden evvel şu hamleleri yapalım:

Şeklinde tekrar çözelim. Burada eşitliğin sol tarafını, daha sonra üzerinde durmak üzere, t ile isimlendirelim.

Haline gelmiş olur.

Statik moment hesabıyla ilgili ayrıntılı yazım: Statik Moment Hesabı

İfadeleri yerine yazarak daha sembolik ifade edecek olursak:

Burada X_AB, moment diyagramının referansa göre konumudur.

T’den bahsedecek olursak, A’dan B’ ye kadar küçük theta elemanlarının oluşturduğu dilimler aynı zamanda, dilimlerin köşelerinden çizilen teğetlerin eğimindeki küçük açı değişimlerini verir.

Şayet bu açı değişimleri de birer dilim olarak düşünülürse B noktasına kadar uzanan dilimin gördüğü dilim theta ile xB-x ‘in çarpımı kadardır. Tüm bu elemanların toplamı şekildeki uzunluğu verir.

Teorem 2, birden fazla lokal ekstremumu olan eğriler için fazladan toplama yapabilir. Veya parçalı fonksiyonlarda eksik hesap verebilir. A ve B noktalarının birbirine göre konumu dikkate alınarak kullanmakta fayda var.

Basit Bir Örnek

Şekildeki kiriş A noktasından ankastre bağlanmış ve B noktasına P kuvveti etkiyor. Boyu l, elastite modülü E ve etrafında kıvrıldığı eksene göre atalet momenti I dır. B noktasındaki eğimi ve sehimi hesaplayalım.